Triangle de Sierpinski
Le triangle de Sierpinski est un objet fractal du nom de Wacław Sierpiński (1882-1969), qui l’étudia en 1915.
Cette fractale consiste en un triangle équilatéral plein auquel on enlève un triangle équilatéral a chaque itération. Celui-ci est formé des trois segments qui joignent les milieux respectifs des côtés du triangle (ou des triangles selon l’itération). Ce processus est répété à l’infini : le résultat final a une aire nulle, mais le périmètre est infini. omnilogie.fr
Si on noircit les cases impaires d’un triangle de Pascal (1665), on obtient une figure très proche du triangle de Sierpinski.
Le principe du triangle de Pascal : on additionne deux chiffres de cases côtes à côtes et le résultat se trouve dans la ligne d’en dessous. Ainsi à la quatrième ligne, 3+1=4; 3+3=6 et 3+1=4.
zeuscat.com
Le principe du triangle de Pascal : on additionne deux chiffres de cases côtes à côtes et le résultat se trouve dans la ligne d’en dessous. Ainsi à la quatrième ligne, 3+1=4; 3+3=6 et 3+1=4.
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Afin de montrer l'évolution de l'aire et du périmètre en fonction des itérations, nous avons cherché à établir les formules correspondantes et créé des graphiques.
Ceci nous aide à comprendre la dimension non-entière de cette figure.
Ceci nous aide à comprendre la dimension non-entière de cette figure.
Le triangle initial a des côtés qui valent 1.
On fait trente étapes, où on observe le nombre de triangles noirs, de triangles blancs, les variations de l’aire et du périmètre.
PERIMETRE : Un+1=3*(Un/2) car à chaque itération, la longueur des côtés des triangles créés est deux fois plus petite qu’à l’étape précédente. De plus à chaque itération, on multiplie le nombre de nouveaux triangles par 3.
Le périmètre tend vers l’infini.
On fait trente étapes, où on observe le nombre de triangles noirs, de triangles blancs, les variations de l’aire et du périmètre.
PERIMETRE : Un+1=3*(Un/2) car à chaque itération, la longueur des côtés des triangles créés est deux fois plus petite qu’à l’étape précédente. De plus à chaque itération, on multiplie le nombre de nouveaux triangles par 3.
Le périmètre tend vers l’infini.
AIRE : U1=3/8 car chaque côté vaut 1, donc la hauteur vaut ¾ et on applique b*h/2
Un+1=3/4*Un car on divise chaque triangle noir en quatre et on en retire un à chaque itération.
L’aire tend vers 0.
Cette figure est donc fractale car sa dimension de Hausdorff est entre la droite et la surface (entre 1 et 2), environ égale à 1.585.