Généralités et Historique
Généralités
Les structures fractales ont d'abord été considérées comme des objets mathématiques curieux, voire comme des monstruosités. Ces objets, qui suivaient le principe général d'autosimilarité ou d'invariance d'échelle, étaient des objets mathématiques non-identifiés (des OMNI), jusqu'au jour où Benoît Mandelbrot les décrivit en précisant leurs caractéristiques. Leur étude tardive peut être expliquée par la nécessité d'utiliser des ordinateurs ( années 1970-1980 ).
Les fractales furent difficiles à définir par Mandelbrot. Il donna d'abord la définition suivante: "objet dont la dimension de Hausdorff* est supérieure à la dimension topologique.". Il se corrigea quelques années plus tard: "Une fractale est une figure géométrique ou un objet naturel qui combine les caractéristiques suivantes:
- ses parties ont la même structure que le tout à ceci près qu'elles le sont à une échelle différente et peuvent être déformées
- sa forme est extrêmement irrégulière ou fragmentée et le reste à toutes échelles
- elles contiennent des éléments discernables dans une large gamme d'échelles Source: fr.wikipedia.org
*Dimension de Hausdorff: grandeur qui a pour vocation de traduire la façon qu'a un ensemble fractal de remplir l'espace à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non-entière et strictement supérieure à sa dimension topologique.
La dimension topologique est la dimension d'une figure géométrique (0 pour un point, 1 pour une ligne, 2 pour une surface, 3 pour un volume...).
Les structures fractales ont d'abord été considérées comme des objets mathématiques curieux, voire comme des monstruosités. Ces objets, qui suivaient le principe général d'autosimilarité ou d'invariance d'échelle, étaient des objets mathématiques non-identifiés (des OMNI), jusqu'au jour où Benoît Mandelbrot les décrivit en précisant leurs caractéristiques. Leur étude tardive peut être expliquée par la nécessité d'utiliser des ordinateurs ( années 1970-1980 ).
Les fractales furent difficiles à définir par Mandelbrot. Il donna d'abord la définition suivante: "objet dont la dimension de Hausdorff* est supérieure à la dimension topologique.". Il se corrigea quelques années plus tard: "Une fractale est une figure géométrique ou un objet naturel qui combine les caractéristiques suivantes:
- ses parties ont la même structure que le tout à ceci près qu'elles le sont à une échelle différente et peuvent être déformées
- sa forme est extrêmement irrégulière ou fragmentée et le reste à toutes échelles
- elles contiennent des éléments discernables dans une large gamme d'échelles Source: fr.wikipedia.org
*Dimension de Hausdorff: grandeur qui a pour vocation de traduire la façon qu'a un ensemble fractal de remplir l'espace à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non-entière et strictement supérieure à sa dimension topologique.
La dimension topologique est la dimension d'une figure géométrique (0 pour un point, 1 pour une ligne, 2 pour une surface, 3 pour un volume...).
Historique
Le concept fractal existe depuis toujours dans la nature, mais de quand datent les premiers objets fractals créés par l'Homme ?
Le concept fractal existe depuis toujours dans la nature, mais de quand datent les premiers objets fractals créés par l'Homme ?
3ème siècle avant J.-C. Baderne d’Apollonius: triangle dont les côtés sont
curvilignes et dans lequel on trouve un cercle inscrit. En le traçant, on
obtient 3 autres triangles curvilignes
etc…
accromath.uqam.ca
accromath.uqam.ca
1520 Pentagone de Dürer. Tel qu’il l’a lui-même
écrit dans son manuel de géométrie publié en 1925 Instructions pour la mesure, à la règle et
au compas, des lignes, plans et corps solides : « Vous pouvez combiner des
pentagones de la manière suivante : premièrement, tracez un pentagone et placez
des pentagones de la même taille sur chacun de ses côtés. Placez ensuite 5
nouveaux pentagones afin qu’ils s’emboîtent sur 2 côtés. Il en résultera la
formation de 5 losanges étroits. Ajoutez alors des pentagones dans les angles de
sorte qu’ils touchent les losanges en 1 sommet. Vous pouvez continuer autant de
cette manière aussi longtemps qu’il vous plaira. »
melusine.eu.org
melusine.eu.org
1883 Poussières de Cantor: En partant d'un segment, on retire le tiers central et l'on recommence ainsi avec chacun des segments restants.
sitegb.free.fr
sitegb.free.fr
1890 Courbe de Peano: La courbe est contenue dans un carré. On trace un segment (la diagonale du carré), et, à partir du tiers central, on crée deux carrés
ayant pour côté le tiers central. On réitère à l'infini.
villemin.gerard.free.fr
villemin.gerard.free.fr
1904 : Courbe de Von Koch (voir onglet correspondant )
1915 : Triangle de Sierpinski (voir onglet correspondant)
1915 : Triangle de Sierpinski (voir onglet correspondant)
Ensembles de Julia: les ensembles de Julia furent définis vers 1917-18 par le mathématicien français Gaston Julia. Ces sont des ensembles dont les composants sont auto similaires à l'infini et soumis à la théorie du chaos ( c'est-à-dire qu'un changement infime des conditions initiales a de fortes conséquences sur le suite de l'expérience ).
On obtient les images grâce à une suite donnée: zn+1=zn²+c avec c nombre complexe ( les images dépendront de la valeur donnée à Zo ). On peut donc obtenir de nombreuses images différentes.
sites.google.com/site/artfractales/
On obtient les images grâce à une suite donnée: zn+1=zn²+c avec c nombre complexe ( les images dépendront de la valeur donnée à Zo ). On peut donc obtenir de nombreuses images différentes.
sites.google.com/site/artfractales/
Ensemble de Mandelbrot: l'ensemble de Mandelbrot fut découvert avant la Première Guerre Mondiale par les mathématiciens Julia et Fatou. Benoît Mandelbrot les étudia par la suite et c'est lui qui, en 1980, en obtint la première image par ordinateur au centre de recherches IBM. Cet ensemble suit le même principe que les ensembles de Julia: on obtient les images grâce à une suite et il est soumis à la théorie du chaos. Il permet d'indicer les ensembles de Julia; c'est-à-dire qu'à chaque point du plan d'un ensemble de Mandelbrot appartient un ensemble de Julia. Seuls les ensembles de Julia connexes* appartiennent à l'ensemble de Mandelbrot. Sur l'image ci-contre, on peut observer l'autosimilarité de l'ensemble de Mandelbrot.
Connexité: un objet est connexe s'il est constitué d'un seul morceau; dans le cas inverse, chaque morceau de l'objet en est une composante connexe.
fr.wikipedia.org
Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 à Varsovie, Pologne - 14 octobre 2010 à Cambridge, USA)
Mathématicien précurseur de la théorie fractale, il est surnommé "le Père des fractales".
Sa famille fuit la Pologne de la menace Hitlérienne en raison de leurs origines juives et va s’installer à Paris où il est formé aux mathématiques par deux de ses oncles. Il est diplômé de l’école Polytechnique en 1944.
Puis il devient professeur à l’université de Lille. En parallèle, il s'intéresse à la loi de Zipf (observation de la fréquence des mots dans un texte), ce qui lui vaut une notoriété immédiate.
Il va alors s’installer en Californie, attiré par la liberté de travailler sur plusieurs secteurs à la fois, d’abord en tant que chercheur dans la société IBM. Là, il s'intéresse à des objets mathématiques étranges, auxquels aucun mathématicien ne s’était intéressé, ainsi qu'aux fluctuations aléatoires. En effet, alors qu'il travaille dans le domaine de l'aviation sur des simulateurs de vols, il doit représenter les pistes mais aussi le paysage environnant (montagnes...), donnant lieu aux premières observations des propriétés fractales.
En 1962, il devient professeur d’économie à Harvard où il introduit l’idée qui va ensuite devenir la base de la théorie des fractales: “dans l’étude des prix, il n’y avait aucune différence de nature entre les variations à court et à long terme. On peut décrire par exemple, les changements de prix d’une denrée comme le coton sur quelques semaines ou sur plusieurs années comme deux phénomènes statistiquement identiques, sauf qu’ils se déroulent sur deux échelles différentes.”
En 1967 il rédige un article intitulé How Long Is the Coast of Britain?, s'intéressant à la longueur des côtes de la Bretagne (voir onglet correspondant) : la théorie fractale est officieusement lancée.
Enfin, en 1974, il utilise le mot "fractal" pour la première fois, dans son livre Objets fractals: forme, hasard et dimension.
03.ibm.com
Mathématicien précurseur de la théorie fractale, il est surnommé "le Père des fractales".
Sa famille fuit la Pologne de la menace Hitlérienne en raison de leurs origines juives et va s’installer à Paris où il est formé aux mathématiques par deux de ses oncles. Il est diplômé de l’école Polytechnique en 1944.
Puis il devient professeur à l’université de Lille. En parallèle, il s'intéresse à la loi de Zipf (observation de la fréquence des mots dans un texte), ce qui lui vaut une notoriété immédiate.
Il va alors s’installer en Californie, attiré par la liberté de travailler sur plusieurs secteurs à la fois, d’abord en tant que chercheur dans la société IBM. Là, il s'intéresse à des objets mathématiques étranges, auxquels aucun mathématicien ne s’était intéressé, ainsi qu'aux fluctuations aléatoires. En effet, alors qu'il travaille dans le domaine de l'aviation sur des simulateurs de vols, il doit représenter les pistes mais aussi le paysage environnant (montagnes...), donnant lieu aux premières observations des propriétés fractales.
En 1962, il devient professeur d’économie à Harvard où il introduit l’idée qui va ensuite devenir la base de la théorie des fractales: “dans l’étude des prix, il n’y avait aucune différence de nature entre les variations à court et à long terme. On peut décrire par exemple, les changements de prix d’une denrée comme le coton sur quelques semaines ou sur plusieurs années comme deux phénomènes statistiquement identiques, sauf qu’ils se déroulent sur deux échelles différentes.”
En 1967 il rédige un article intitulé How Long Is the Coast of Britain?, s'intéressant à la longueur des côtes de la Bretagne (voir onglet correspondant) : la théorie fractale est officieusement lancée.
Enfin, en 1974, il utilise le mot "fractal" pour la première fois, dans son livre Objets fractals: forme, hasard et dimension.
03.ibm.com