Courbe et flocon de von Koch
La courbe de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch). Cette courbe se réalise en procédant en trois étapes que l'on peut répéter indéfiniment : on divise un segment en trois, on construit un triangle équilatéral ayant pour base le tiers central du segment, on supprime la base de ce triangle équilatéral. On reproduit ce procédé sur chacun des segments obtenus, à l’infini.
La courbe de Koch est multipliée par quatre lorsque sa taille triple (en effet, elle est définie comme étant constituée de quatre copies d'elle-même, trois fois plus petite). Sachant que 4=3^1,262, la dimension fractale du générateur de cette courbe est de 1,262.
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Le flocon de Koch est similaire à la courbe de Koch sauf qu'on démarre d'un triangle équilatéral
et non d'un segment, chaque côté du triangle est donc une courbe de von Koch.
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Afin de montrer l'évolution de l'aire et du périmètre en fonction des itérations, nous avons cherché à établir les formules correspondantes et créé des graphiques.
Ceci nous aide à comprendre la dimension non-entière de cette figure.
Ceci nous aide à comprendre la dimension non-entière de cette figure.
PERIMETRE : longueur*nombre de côtés
A chaque itération, la longueur du segment est divisée en 3 et le nombre de segment est multiplié par 4. Le nombre de triangles ajoutés est multiplié par 4 à chaque itération.
Le périmètre tend vers l’infini.
A chaque itération, la longueur du segment est divisée en 3 et le nombre de segment est multiplié par 4. Le nombre de triangles ajoutés est multiplié par 4 à chaque itération.
Le périmètre tend vers l’infini.
AIRE : soit L la longueur des côtés de l’étape précédente.
Nous calculons d’abord l’aire de chaque triangle ajouté que nous appellerons U. La formule de l’aire d’un triangle est (b*h)/2. Pour trouver la longueur de la hauteur, on applique le théorème de Pythagore car c’est un triangle équilatéral. On a donc h=√(L2-(1/2L)²).
Nous calculons maintenant l’aire totale du flocon A. On la calcule en ajoutant à l’aire précédente le produit du nombre de triangles ajoutés(N) par leur aire.
Donc An+1=An+U*N
L’aire tend vers une constant environ égale à 0.6 donc environ 8/5 de l’aire initiale.
Le flocon est donc une fractale car sa dimension de Hausdorff est entre la ligne et la surface (entre 1 et 2), environ égale à 1.26.