Longueur des côtes
La question de la mesure des côtes de la Grande-Bretagne fut introduite en 1967 par Benoît Mandelbrot, lorsqu'il publie l'article How long is the coast of Britain? (combien mesure la côte de la Grande-Bretagne?)
On peut considérer les côtes de la Grande Bretagne et de la Bretagne comme des fractales car celles-ci présentent des propriétés d’autosimilarité.
En effet, elles ne sont pas « lisses », elles sont constituées de baies et de caps qui sont eux-mêmes constitués de baies et de caps plus petits eux-mêmes constitués de criques…etc
En effet, elles ne sont pas « lisses », elles sont constituées de baies et de caps qui sont eux-mêmes constitués de baies et de caps plus petits eux-mêmes constitués de criques…etc
On peut considérer la côte comme une courbe, mesurable de plusieurs manières.
La première utilise la notion de ligne polygonale. Pour une courbe C, la ligne polygonale P est l'ensemble des segments mis bout à bout et où toutes les extrémités sont sur C et "progressent" le long de C (sur l'image ci-contre, la courbe est en rouge et les lignes polygonales sont chacunes en vert, jaune et bleu).
futura-sciences.com
La longueur de P est égale à la somme des longueurs des segments. On remarque alors que si l'on divise par n la longueur du segment, on multiplie par n le nombre de fois que l'on l'applique le long de la courbe, et P s'approche plus de la longueur de C. On augmente ainsi la précision.
La première utilise la notion de ligne polygonale. Pour une courbe C, la ligne polygonale P est l'ensemble des segments mis bout à bout et où toutes les extrémités sont sur C et "progressent" le long de C (sur l'image ci-contre, la courbe est en rouge et les lignes polygonales sont chacunes en vert, jaune et bleu).
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La longueur de P est égale à la somme des longueurs des segments. On remarque alors que si l'on divise par n la longueur du segment, on multiplie par n le nombre de fois que l'on l'applique le long de la courbe, et P s'approche plus de la longueur de C. On augmente ainsi la précision.
La seconde se fait à l'aide d'un compas, dont on fixe l'écartement au segment de longueur l. Plus l est petit, plus la longueur de P s'accroît (recoins, creux...).
Sur le tableau ci-contre, on observe les résultats calculés par Mandelbrot.
Sur le tableau ci-contre, on observe les résultats calculés par Mandelbrot.
D’un point de vue mathématique, il semble que la longueur de la côte est infinie comme dans le cas du flocon de Koch.
D’un point de vue pratique on pourrait penser que si l était suffisamment petit, la longueur de P finirait par se stabiliser. Mais l serait si petit que la longueur de P (qui serait infiniment grande) n’aurait pas de sens concret.
D’un point de vue pratique on pourrait penser que si l était suffisamment petit, la longueur de P finirait par se stabiliser. Mais l serait si petit que la longueur de P (qui serait infiniment grande) n’aurait pas de sens concret.
geoffreyhistoire.pagesperso-orange.fr/
Cette fractalité a été expliquée par une équipe franco-italienne de chercheurs (Bernard Sapoval, Andrea Baldassari, Andrea Gabrielli) : l’assaut des vagues déformerait une côte régulière en profondeur alors que la forme fractale est efficace pour lutter contre l’érosion. Une côte non-fractale sera donc déformée jusqu’à trouver une forme permettant une certaine stabilité.
Début du procesus d'érosion Côte fractale à la fin du processus d'érosion
(côte irrégulière mais pas
encore fractale)
Début du procesus d'érosion Côte fractale à la fin du processus d'érosion
(côte irrégulière mais pas
encore fractale)