Eponge de Menger
Aussi appelée éponge de Menger-Sierpinski, il s’agit de l’extension dans une troisième dimension de l’ensemble de Cantor et du tapis de Sierpinski (ci-dessous). Karl Menger fut le premier à la décrire en 1926.
Pour construire une éponge de Menger, il faut d'abord débuter par la construction d’un cube, puis découper le cube en 27 cubes de même volume. Ensuite on retire le cube central de chaque face ainsi que le cube central en contact avec ceux-ci. On peut répéter le processus à partir de l'étape 2 pour chacun des 20 cubes restants.
À chaque itération, on multiplie le nombre de cubes par 20, ce qui fait que le solide créé à l'itération n contient 20n cubes
rouxjeanbernard.ch
Pour construire une éponge de Menger, il faut d'abord débuter par la construction d’un cube, puis découper le cube en 27 cubes de même volume. Ensuite on retire le cube central de chaque face ainsi que le cube central en contact avec ceux-ci. On peut répéter le processus à partir de l'étape 2 pour chacun des 20 cubes restants.
À chaque itération, on multiplie le nombre de cubes par 20, ce qui fait que le solide créé à l'itération n contient 20n cubes
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lima.arc.ulaval.ca
Afin de montrer l'évolution de l'aire et du volume en fonction des itérations, nous avons cherché à établir les formules correspondantes et créé des graphiques.
Ceci nous aide à comprendre la dimension non-entière de cette figure.
Afin de montrer l'évolution de l'aire et du volume en fonction des itérations, nous avons cherché à établir les formules correspondantes et créé des graphiques.
Ceci nous aide à comprendre la dimension non-entière de cette figure.
On commence par observer les variations sur le tapis de Sierpinski, pour plus de simplicité, car chaque face de l’éponge de Menger en est un. Le carré initial a des côtés qui valent 1.
AIRE : Un+1= 8/9*Un car c’est le même principe que pour le triangle de Sierpinski, sauf que c’est un carré.
Maintenant, nous allons nous intéresser à l'éponge de Menger.
Tout d’abord, le nombre de cubes retirés à chaque fois est le suivant : 6*(nombre de carrés blancs a l’itération n) +1 car il y a 6 faces à un cube, et on a enlevé au début le cube central.
A l’étape initiale, la cube comporte 6 faces d’aire 1, donc l’aire totale du cube vaut 6.
A l’étape suivante, chaque face comporte 8 carrés, on a retiré 7 cubes centraux. Pour chaque cube enlevé, sauf le cube central, 4 nouvelles faces apparaissent. A chaque itération, on multiplie le nombre de faces à l’itération précédente par 8 et on ajoute 4 faces par cube enlevé (sauf le cube central) sur chaque face du cube initial (6). De plus, on multiplie le nombre de face apparues par 20n. En effet, à chaque nouvelle itération, chaque cube est divisé en 27 auquel on enlève 7 cubes.
On obtient la suite suivante : Un+1=Un*8+20n*(6*4)
Pour calculer l’aire totale, on multiplie le nombre de faces apparues par l’aire d’une face. Cette aire est divisée par 9 à chaque itération car on découpe chaque carré en 9.
On obtient donc la suite : An=Un*(1/9)n
L’aire tend donc vers l’infini.
AIRE : Un+1= 8/9*Un car c’est le même principe que pour le triangle de Sierpinski, sauf que c’est un carré.
Maintenant, nous allons nous intéresser à l'éponge de Menger.
Tout d’abord, le nombre de cubes retirés à chaque fois est le suivant : 6*(nombre de carrés blancs a l’itération n) +1 car il y a 6 faces à un cube, et on a enlevé au début le cube central.
A l’étape initiale, la cube comporte 6 faces d’aire 1, donc l’aire totale du cube vaut 6.
A l’étape suivante, chaque face comporte 8 carrés, on a retiré 7 cubes centraux. Pour chaque cube enlevé, sauf le cube central, 4 nouvelles faces apparaissent. A chaque itération, on multiplie le nombre de faces à l’itération précédente par 8 et on ajoute 4 faces par cube enlevé (sauf le cube central) sur chaque face du cube initial (6). De plus, on multiplie le nombre de face apparues par 20n. En effet, à chaque nouvelle itération, chaque cube est divisé en 27 auquel on enlève 7 cubes.
On obtient la suite suivante : Un+1=Un*8+20n*(6*4)
Pour calculer l’aire totale, on multiplie le nombre de faces apparues par l’aire d’une face. Cette aire est divisée par 9 à chaque itération car on découpe chaque carré en 9.
On obtient donc la suite : An=Un*(1/9)n
L’aire tend donc vers l’infini.
VOLUME :
Pour le volume des cubes enlevés à chaque itération :
- À la première itération, le cube initial est découpé en 27 cubes égaux, donc le volume d’un cube est de 1/27.
- Aux itérations suivantes : Un+1= Un/27 car on découpe chaque cube nouvellement obtenu en 27
A chaque itération, chaque cube est divisé en 27 et on lui en retire 7.
Donc V0=1
V1= 20/27
V2=20/27*20/27= (20/27)2
V3= (20/27)2*20/27= (20/27)3
On en déduit donc que Vn= (20/27) n
Le volume de l’éponge tend donc vers 0.
Cette figure est donc bien une fractale car sa dimension de Hausdorff est comprise entre la surface et le volume (entre 2 et 3), environ égale à 2.7.