Arbre de Pythagore
Fractale plane, construite à l’aide de carrés et de triangles rectangles isocèles. Chaque triplet de carrés forme un triangle rectangle, répondant à la formule « a² + b² = c² » (d’où le nom Pythagore). Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de √2 /2, et chaque branche est directement semblable à l’arbre.
Cette figure est à l’origine de la première crise des fondements des mathématiques : l’irrationalité de √2.
Dimension Hausdorff de l’arbre de Pythagore = 2
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Voici comment procéder pour construire un arbre de Pythagore. Ce processus est répétable à l'infini.
sa.cijm.org
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En suivant le même chemin de construction mais en ne s’imposant plus des triangles isocèles rectangles, on obtient à un arbre à « circonvolutions » ( tours effectués autour d’un point central).
Construction d'un algorithme que nous avons testé, disponible sur http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/DI/arbre_Pythagore/un-arbre-de-pythagore-c_le_beller-dim-nbres_alg.html
ATTENTION: Il faut prendre en compte le fait que cet algorithme considère un arbre de Pythagore "partant" d'une extrémité et non du carré central.
Cet algorithme nous permet de trouver, selon le nombre d'itérations, les éléments suivants:
- Hauteur de l'arbre
- Largeur en cm
- Nombre de carrés semblables
ATTENTION: Il faut prendre en compte le fait que cet algorithme considère un arbre de Pythagore "partant" d'une extrémité et non du carré central.
Cet algorithme nous permet de trouver, selon le nombre d'itérations, les éléments suivants:
- Hauteur de l'arbre
- Largeur en cm
- Nombre de carrés semblables